Tema 1 (Divisibilidad. Números Enteros) y Tema 2 (Potencias y Raíces Cuadradas)

Conceptos Fundamentales del Tema 1:Divisibilidad, Números Enteros.

• Múltiplo: Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando al segundo por otro número.
• Divisor ó factor: Un número es divisor de otro si se puede dividir al primero de forma exacta.

• Características de los múltiplos:

Son mayores ó iguales que el número

Un número es múltiplo de si mismo

La cantidad de múltiplos de un número es infinita

Si un número es múltiplo de otro, éste es divisor del primero

• Características de los divisores:

Son menores ó iguales que un número

Un número es divisor de si mismo

Todos los números son divisibles por la unidad

La cantidad de divisores de un número es limitada

Si un número es divisor de otro, éste es múltiplo del primero.

• Criterios de Divisibilidad: Permiten saber si un número es divisible por otro.

Divisible por 2: Si termina en 0 ó en cifra par.

Divisible por 3: Si la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3.

Divisible por 4: Si lo es el número formado por sus últimas dos cifras, ó si termina en 00. También lo es si es dos veces divisible por 2.

Divisible por 5: Si termina en 0 ó en 5.

Divisible por 8: Si es tres veces divisible por 2.

Divisible por 9: Si la suma de sus cifras es divisible por 9, ó si es dos veces divisible por 3.

Divisible por 10: Si termina en 0. También si es divisible por 2 y por 5.

Divisible por 11: Si la suma de las cifras que ocupan los lugares pares menos la sua de las cifras que ocupan los lugares impares da 0, 11 ó múltiplo de 11.

Divisible por 25: Si lo son sus dos últimas cifras ó si termina en 00.

• Número Primo: Aquel que solo es divisible por si mismo y por la unidad.
• Número Compuesto: Aquel que tiene mas divisores que si mismo y la unidad.

• Descomposición factorial: Consiste en poner el número como producto de factores primos. Se va dividiendo al número por números primos empezando por 2 hasta que el cociente sea 1.
• Máximo común divisor: (m.c.d): El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes, se calcula descomponiendo en factores primos los números y multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente.
• Mínimo común múltiplo: (m.c.m): El Mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, se calcula descomponiendo en factores primos los números y multiplicando los factores comunes y los no comunes elevados al mayor exponente.
• Números primos entre si: Cuando el máximo común divisor entre ambos es 1.
• Números Enteros: Conjunto de números formados por los positivos, los negativos y el 0.
• Valor Absoluto: Es el número entero sin signo, es decir en positivo, el valor absoluto a las cantidades positivas las deja positivas y a las negativas las transforma en positivas.
• Opuesto de un número: Es una operación que cambia el signo de un número, lo positivo lo transforma en negativo y lo negativo en positivo.
• Operaciones con números enteros: Suma: Para sumar cantidades del mismo signo se suman sus valores absolutos y se pone ese signo.

Para sumar cantidades de distinto signo, se resta la mayor menos la menor en valor absoluto y se pone el signo de la mayor.

• Operaciones con números enteros: Resta: Consiste en sumar el opuesto del segundo:

A-B= A+(-B)

• Operaciones con números enteros: Producto ó multiplicación: Se multiplican sus signos y después se multiplican los valores absolutos de los números.
• Operaciones con números enteros: Cociente ó división: Se dividen sus signos y después se dividen los valores absolutos de los números.
• Reglas de los signos:

• Operaciones combinadas con números enteros: Se sigue una jerarquía (orden) de operaciones:

1)      Paréntesis y Corchetes (de dentro a fuera)

2)      Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)

3)      Sumas y Restas.

Conceptos fundamentales Tema 2: Potencias y Raíces Cuadradas.

• Partes de una potencia:

Base: El número que se multiplica por si mismo

Exponente: El número de veces que se multiplica por si mismo.



• Clasificación de las potencias según la base y el exponente:

Potencias de base positiva y exponente par da un resultado positivo.

Potencias de base positiva y exponente impar da un resultado positivo.

Potencias de base negativa y exponente par da un resultado positivo.

Potencias de base negativa y exponente impar da un resultado negativo

• Propiedades de las potencias con la misma base.

• Propiedades de las potencias con el mismo exponente.

• Propiedades de las potencias: Potencia de una potencia.

• Cuando no tengamos ni la misma base ni el mismo exponente, lo primero es descomponer las bases en factores primos, si aún así no tenemos ni la misma base ni el mismo exponente habrá que resolver y después operar.
• Cuadrado Perfecto: Si se obtiene elevando otro número al cuadrado.
• Raíz cuadrada entera: es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que el número.
• Raíz cuadrada exacta: es un número que elevado al cuadrado da el primero.
• Resto de una raíz cuadrada: Es la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz entera.
• Comprobación de la raíz cuadrada: Número = (Raíz cuadrada entera) ^2 + Resto.
• Procedimiento para resolver una raíz cuadrada entera sin decimales.

• Se Separan las cifras de dos en dos empezando por atrás
• Se busca un número (2) que elevado al cuadrado se aproxime lo mas posible al primer grupo de cifras(5)
• Se resta:(5-4=1)
• Se bajan las dos siguientes cifras (90)
• Se pone el número a la derecha (2), se duplica y se pone abajo (4)
• Se va probando 41x1, 42x2, 43x3 hasta aproximarnos lo mas posible a 190: (44x4=176)
• Se resta 190-176=14 y se pone el número (4) arriba.
• Se bajan las dos siguientes cifras (74)
• Se duplica lo de arriba (24) = (48)
• Se va operando 481x1, 482x2 hasta encontrar el que mas se aproxime sin pasarse a 1474, (483x3=1449), se sube el 3 al resultado que queda 243.
• Se resta 1474-1449=25, que es el resto.

• Procedimiento para resolver una raíz cuadrada entera con decimales.
• Inicialmente todo igual que con decimales
• Despues se bajarían dos ceros
• Se repetirían los pasos de duplicar y probar hasta acercarnos lo mas posible al número.

• Jerarquía para resolver operaciones combinadas con potencias y raíces:

1)      Paréntesis y Corchetes (de dentro a fuera)

2)      Potencias y Raíces.

3)      Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)

4)      Sumas y Restas.

Ejercicios y Soluciones del examen del día 14 de Octubre de 2011.